看点 今年中考数学，引起了大众不少关注。回归试卷，众多考生没有拿下的最后一题，“难”在哪里？值得关注的是，这些题目完全回归课本，没有一点超纲考查，却非常灵活。这些不套路的题目，对于我们今后小初高阶段的数学学习，又会有怎样的启发呢？
文丨鱼圈教研团 编丨袁梓曦
截至我们发稿前，全国各地大部分地区都已经结束中考。和高考一样，考试结束网上最先讨论的就是“今年考得难不难”这样的话题。
根据网上的消息，我们大概捋了一下：
北京、上海、江苏、重庆，安徽、青岛的考生普遍觉得偏难；
浙江考生觉得没那么难但全做出的人也不多。
整体来说，今年中考的数学不简单。
不过，难易这种事，因人而异，网上的调查也仅限于当事人观感，咱们还是就事论事，把考卷拿来做一遍再评判。
2024年中考落下帷幕
数学又“难”又“简单”
我们一般说数学考得难，指的是试卷最后一题难度，比如填空、选择最后一题，最常见是看整张试卷最后一题的难度。
普娃和牛娃的差距，或者说最后孩子是去普高还是重高，很大程度上要看这种题目能不能做出来。
因为该类题目分值比较高，如果没思路，那光一道题就能拉开10分左右的差距。在中考，也许志愿就得从上一档滑落到下一档了。
那我们具体来看一下这几个省市中考数学的最后一道大题。
北京最后一题，把函数和几何放在一起：
上海最后一题，几何题：
重庆最后一题，几何题：
浙江最后一题，几何题：
我们做了下这几道题，感觉论“知识点”不难，因为解题中用到的都是课本内的知识，而且是非常基础的概念和定理。
那考生反馈的“难”是落在哪里呢？
我们认为，是因为这些题目非常不套路。
知识点还是那些知识点，但考查的深度和灵活度和“刷的题”太不一样了！
我们就以没那么难的浙江卷为例，解题步骤不复杂：
本题在圆中内接了四边形，研究线与圆中四边形基本元素之间的关系：
这几个知识点之间不独立，环环相扣。
只有真正理解概念和定理，而不是单纯考记忆背出一些公式，才能在碰到这种题目时不慌不乱，抽丝剥茧，顺利下笔。
从前刷题强调的解题技巧，现在都用不上了，只有重视数学概念、原理以及法则之间的联系，理解透彻了，题也就不难了。
中考满分的秘密——几何
小学阶段能做些什么
从上面分析可以看出，这些省市的最后一题一般都会选择几何题，或者把几何和函数结合到一起考查。
我们翻看了往年的中考试卷，的确如此。
那么，对于家长和孩子来说，几何的学习就得好好琢磨了，特别是想要冲刺满分，目标“重高”的家庭。
小初高的数学体系可以大致分成三个模块：代数与计算、几何和统计与概率。
我们重点看几何模块。
小学阶段的几何学习偏认知向：了解点线面、平面图形、立体图形的基本特征。
考试也特别简单，反而在几何计算中孩子失分的情况会更多一些，比如算周长和面积。
这里家长们要分辨一下，因为小学几何涉及的周长面积是很“直白”的，更多的是考“代数能力”，比如下面这题
很少有孩子是因为不会正方形、长方形的周长面积公式而错的。
所以，严格意义上，小学阶段的几何学习难度一点都不大。
初中阶段，几何学习要从初二开始：此时才对平面几何有了深度探究，要能想象、能割补、会添辅助线，这才是真正的几何入门。
几何和代数学习不一样。
做一道几何题，最重要的就是思考出解题的逻辑线。从已知条件出发，一步一步，严谨地推导出结论，完成证明。
而到了高中之后，接触的就是立体几何了，在难度上当然又升了一个台阶。不过在高中，会引入一个新的知识点——向量。
当孩子会用空间向量后，很多立体问题其实可以转为向量问题，那接下来需要的就是代数计算能力，和几何相关性没那么大了。
综合以上分析，我们认为对于几何学习，最精髓的部分其实是在初中，真正用几何思维来解几何问题。
这就难怪，一张中考卷，几何的分值大概占据40%-45%。
但是在小学阶段，几何学习确实比较浅；那么，对于学有余力的孩子，可以适当给他铺垫一些几何认知，这样衔接到初中几何会相对顺畅。
注意，我们不建议提前去学习初中几何内容，而是在小学阶段重点把几何的基础知识和性质好好摸透，搭建孩子的几何底层能力。
有关「课内」和「课外」的建议如下。
首先，一定要重视课内。
再次强调，小学阶段的几何知识很简单，但不代表不重要。
尤其是简单几何的概念和特征，他们是初高中几何学习的地基，所有高阶的几何推理都是从一个点、一条线、一个面开始的。
如果孩子只是记住了知识点，而没有去理解，遇到新题型，比如今年的中高考题目，自然觉得“很难”。
几何非常重视逻辑性，我们可以让孩子自己梳理出所学几何知识的思维导图；几何图形的一个性质到另一个性质是如何被推导出来的，最好都自己证明一遍。
能做到这一步，其实就是在课内学习的基础上又向下深挖了一步，这个地基打得就越稳。
在课内基础上，我们推荐做一些拓展。
学有余力的孩子，可以尝试接触小奥的几何体系，一些题目蕴含了不少几何思维，可以更深刻地理解几何之间的关系。
特别是它们涉及的原理都是当前校内知识，也就是说，没有需要超前和额外补充的知识点。
除此之外，家中可以提供一些几何数学读物给孩子，比起正儿八经做小奥题，看看书就“无痛”多了吧。
绘本类：《折纸的几何》《这就是几何》《DK我的第一本几何思维》《揭秘几何》《形状国的传说》
故事类：《几何王国大冒险》《几何真好玩》
阅读类：《图解奥数》《几何原本》《几何之美》《不焦虑的几何》
当然，一些几何的桌游也是很好的补充，尽量在孩子生活中渗透一些几何思想。
那么，等孩子上了初中，他可以从容应对几何的学习和考试。
把中高考数学最后一题放一起看
数学原理和数学思维是关键
讲完了中考，我们再往前多看一步，把今年高考卷的最后一题一起拿来比较下。
我们主要以新课标Ⅰ卷为例，因为Ⅰ卷参与的省市都是采用新课标的地区，也是教育改革的方向。
2024年数学高考新课标Ⅰ卷最后一题
今年考生普遍反映全国新课标Ⅰ卷最后一题，有点出人意料，考了一道新定义的数列题，属数论知识，当天考完出来发懵的考生非常多。
学生觉得“发懵”很大概率是因为这种题型完全没见过，而“数论”在整个小初高学习中都不是重点，只是浅浅接触了下。
甚至很多孩子都不知道这些知识点属于数论的范畴，比如整除、余数、进制都是数论里研究的内容。
数论的入门学习在小奥中会有一些，其余就完全是大学才会学到的内容。
因此有挺多博主就开始宣传，高中要提前让孩子学高等数学。
按照他们的理论，那孩子要学的东西可太多了，什么“极限与洛必达法则”、“微分中值定理与应用”、“凸凹性与偏导数”、“定积分与应用”……
难道不提前学一些大学知识，就考不好高考了吗？
不然。
参考人教版高中数学主编章建跃老师的解释和分析，其实解这题所必需的知识限定完全都在高中课本中。
章建跃：2024高考数学的启示《回归课标、重视教材才是王道》
虽然这里构建了一个新情境，但是前两问只要能读懂题，理解题目中给出的概念，找到有效信息，就能做。
第三问，有一些难度，构造了新的知识，但是题目中把关于数论的相关知识都告知了，考生需要的就是“依样画葫芦”。
它考查的是考生对新知识的现场理解能力，用数学思维现学现用，高效率地接受新知识并应用。
其实很多国内优质学校的自主招生，很早就开始采用“现学现用”的招生策略，因为这样可以更客观地挑选出学习能力强的孩子。
所以，我们认为，高考考到一些没有学过的知识，本意上不是为了单纯鼓励孩子去超前学；
而是希望通过一道“新题型”来筛选出真正有数学能力的孩子。
这里讲的数学能力，可以简单理解为：
遇到一个新的数学问题，学生可以从自己的“知识库”中，迅速组建起一套全新的解题逻辑，来应对新问题，而不是拿一个成品化的模具来试着套一套。
即这种能力无法通过反复刷题刷出来。
如此分析，会发现虽然中高考考查的知识点和难度完全不同，但考查方向和逻辑是一致的。
中高考的最后一题绝对不是考学生的“知识量”，它所注重的是“数学能力”。
而构建数学能力背后，需要的是对数学概念原理的理解并应用，即所谓的“数学思维”。
这一点，在孩子今后的数学学习中，是我们需要重点关注的。
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