在热力学上，退火（annealing）现象指物体逐渐降温的物理现象，温度降低，物体的能量状态也会降低；在足够低后，液体开始冷凝与结晶。在结晶状态时，系统的能量状态最低。大自然在缓慢降温（退火）时，可形成最低能量状态：结晶。但是，如果降温过程过急过快，快速降温时，会形成不是最低能态的非晶形。

慢工出细活：缓慢降温，使得物体分子在每一温度时，能够有足够时间找到安顿位置，则逐渐地，到最后可能得到最低能态

从当前状态i生成新状态j，若新状态的内能小于状态i的内能（），则接受新状态j作为新的当前状态；否则以概率接受状态j，其中为Boltzmann常数。

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为，其中E为温度T时的内能，为其改变数

模拟退火算法其实也是一种Greedy贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素，在迭代更新可行解时，以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能跳出局部最优解，达到全局最优解。

基本思想：初始化：初始温度，初始解状态，每个值的迭代数

• 第一步：由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

• 第二步：计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

• 第三步：判断新解是否被接受，判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S4。

• 第四步：当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

 

控制参数的初值：

模拟退火算法是通过控制参数T的初值和气衰减变化过程来实现大范围的粗略搜索与局部的精细搜索。 在问题规模较大时，过小的往往导致算法难以跳出局部陷阱而达不到全局最优。一般为100℃。 初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。

控制参数 T 的衰减函数：

其中，为降温的次数，是一个常数，可以取为0.5~0.99，它的取值决定了降温过程的快慢。 为了保证较大的搜索空间，一般取接近于1的值

退火速度：Markov链的长度

Markov链的选取原则是：在控制参数T的衰减函数已经选定的前提下，应能使在控制参数的每一取值上达到准平衡 从经验上说，可令，为问题规模

控制参数T的终止

算法停止准则：在比较大的高温情况，指数上的分母比较大，而这是一个负指数，所以整个接受函数可能会趋于1，即比当前解更差的新解也可能被接受因此就有可能跳出局部极小而进行广域搜索，去搜索解空间的其他区域；而随着冷却的进行，减小到一个比较小的值时，接收函数分母小了整体也小了，即难于接受比当前解更差的解，也就不太容易跳出当前的区域。如果在高温时，已经进行了充分的广域搜索，找到了可能存在的最好解的区域，而在低温再进行足够的局部搜索，则可能最终找到全局最优应设为足够小的正数，

　　模拟退火算法（simulated annealing）是一种通用概率算法，用来在一个大的搜寻空间内寻找问题的最优解。

优点：能够有效解决NP难问题、避免陷入局部最优解。

计算过程简单，通用，鲁棒性强，适用于并行处理，可用于求解复杂的非线性优化问题。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；

模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率收敛于全局最优解的全局优化算法；

模拟退火算法具有并行性

缺点：收敛速度慢，执行时间长，算法性能与初始值有关及参数敏感等缺点。

由于要求较高的初始温度、较慢的降温速率、较低的终止温度，以及各温度下足够多次的抽样，因此优化过程较长。

（1)如果降温过程足够缓慢，多得到的解的性能会比较好，但与此相对的是收敛速度太慢；

（2）如果降温过程过快，很可能得不到全局最优解。

适用环境：组合优化问题。

改进：

　　　　(1)设计合适的状态产生函数

　　　　(2)设计高效的退火策略。

　　　　(3)采用并行搜索结构。

　　　　(4)选择合适的初始状态。

　　　　(5)设计合适的算法终止准则。

　　　　(6)增加升温或重升温过程。在算法进程的适当时机，将温度适当提高，从而可激活各状态的接受概率，以调整搜索进程中的当前状态，避免算法在局部极小解处停滞不前。

　　　　(7)增加补充搜索过程。即在退火过程结束后，以搜索到的最优解为初始状态，再次执行模拟退火过程或局部性搜索。

　　　　(8)对每一当前状态，采用多次搜索策略，以概率接受区域内的最优状态，而非标准SA的单次比较方式。

　　　　(9)结合其他搜索机制的算法，如遗传算法、混沌搜索、粒子群优化等。

 

下面我们举一个简单的例子来呈现python是如何实现模拟退火算法的

已知在优化问题中我们有目标函数和约束条件

（随便给的）

目标函数：

约束条件：

如果想要呈现出模拟退火算法的过程，只需记录下每次迭代的当前解、目标函数值以及温度即可

初始化

在循环中加入

最后在末尾加入

多启动

字面意思，即重复多次模拟退火过程，记下每次的最优解，从而得到整体的最优解

动态调整Markov链的长度

混合搜索

在模拟退火的初期进行全局探索时，可以使用遗传算法或粒子群优化等生成初始解；在中后期，结合局部搜索精细优化解

增加补充搜索过程

每进行一定的迭代次数，我们便进行局部搜索，从而更好地获得全局最优解