【数学文化】数学是发明还是发现？

【数学文化】数学是发明还是发现？

2024-11-14 09:32

迈克尔·阿蒂亚爵士（Sir Michael Francis Atiyah，1929年4月22日~2019年1月11日），英国数学家，毕业于剑桥大学三一学院，前英国皇家学会会长，被誉为20世纪最伟大的数学家之一。

迈克尔·阿蒂亚出生于英国伦敦，童年时代在中东地区度过，1945年跟随家人移居英国，之后以前三名的成绩考入剑桥大学三一学院。1955年获得博士学位，毕业后在普林斯顿高等研究院、剑桥大学彭布罗克学院、牛津大学等学术机构研究、任教，并在1962年成为英国皇家学会会员。

迈克尔·阿蒂亚爵士的主要研究领域是几何，而到20世纪70年代他把重心转移到数学物理学上。 1960年代他与艾沙道尔·辛格建立合作关系，共同证明了阿蒂亚-辛格指标定理，该定理在数学的一些领域均有重要作用。因此他在1966年荣获菲尔兹奖，2004年又与艾沙道尔·辛格共同获得阿贝尔奖。除此之外，迈克尔·阿蒂亚爵士在拓扑、微分方程、数学物理、代数等领域也有杰出成就。1983年，被英国皇室授予下级勋位爵士。1992年，获得英国功绩勋章。

“数学，是发明还是发现?”，这是一个相当富哲学性的题目。这个题目并非专为数学家而设，而是适合更广泛的读者。我们真正关心的，是数学与现实世界及其他事情之间的关系。

数学可以说是处于艺术和科学之间的学科，而数学和科学的关系，几乎人所共知。例如牛顿、麦克斯韦(James Clerk Maxwell)和爱因斯坦所提出的理论，是建基于很坚实的数学基础之上。反过来，科学家的观察和理论验证，又对数学的发展产生很大的影响。然而，数学与艺术之间的关系，便不是那样显而易见了。

数学是艺术也是科学

人们认为，艺术和数学是两码子事，其实两者之间是有关联的。首先，数学是建基于逻辑——严密的逻辑思维。在哲学领域里，同样也十分注重逻辑和思考分析。例如，两位在不同年代的伟大哲学家，古希腊的柏拉图和近代的罗素，他们亦为数学家，因为二人的思想都采用大量数学语言，无可置疑，逻辑属于哲学的一部分。

同时，逻辑也是建构艺术的基础。

当我们说到某些艺术的项目，如绘画，便会趣用到很多透视的方法，也即是空间里的三维观点;透视圆法，亦被视为绘画艺术发展的一大发现。又例如音乐，音乐使用了音符作为基础，但当中的和弦其实是一种十分精确和美妙的数学形式，这也表现出艺术和数学的关系。建筑学追求的是建筑物的美，这取决于建筑物本身的比例和规模等;无论是几何学，或几何学建筑，都是建筑学中的十分重要的部分。

数学与大量艺术项目之间的关系可谓千丝万缕。概言之，艺术就是主观的美。在物理学，对美的追求，是来源于艺术的基本概念。同样，对美的追求，在数学亦是重要的环节;因此可以说，数学既是艺术，也是科学。

科学和艺术之间的区别，可以这样加以阐释——科学家孜孜不倦去钻研和发现在他眼前的世界，借着科学我们可以发现事物的真相和自然世界的法则，比如科学家发现了高温超导电性，这个发现就是建基于从观察中得出的论据。另一方面，艺术则是人类的一种创作。人在思考中，获得了重要的发现和感悟，这个发现的基础并非建立在理性思考，而是在感情上。

表面上，艺术和科学是根本上相逆的东西，但事实并非如此。

数学模型来自思维概念

让我从人类发展的历史，回溯到数千年前，现实世界和人类之间有什么关联。什么是现实世界?它意味着什么?当时的人类是如何思考这个世界?我们不理解现实世界，也不理解思维，更不理解它们之间的关系。

这是其中一个重要的哲学问题。当然，哲学问题并不必然有确切的答案。我们能通过提出问题，从中学习获得智慧，但却永不能得到一个确切的答案。因此，古今哲学家为了一个哲学问题，而消磨了上千年时间。事实上，人类提出科学理论，是把我们所观察到的事物，以一个模型或框架去理解、解释和发展规律。这样，在某种程度上，科学理论和数学模型十分类似。它们都是人类思维内的概念，我们可将这些概念，加诸在外间所观察的事物，好以理解它们。

因此，在某程度上，科学有两个部分，包括外间实验的数据，以及人类内在思维所得的数学模型，并尝试把两者融合起来，得到一个整体的认识。同样的，艺术也有两个部分。一、源于艺术家发自内在感受的创作，二、在外在物理上所受到的约束。例如，数学结构和建筑物的透视点都受到来自外在的约束，是艺术家不能置之不理的。

所以，艺术家应用他们的创作，但也是生活在各种已被发现的“框架”之内，所谓“鱼在水中，水也在鱼中”。在某程度上，艺术和科学都分享着同样的特性，就是它们在“发现”这些框架，并在这框架之内进行各种创作。

这框架是科学所仗赖的数据，或是我们研究能力所及的范围。艺术家同样面对框架，但他们尝试把自己的意念形象化。理性和感性是科学的基础，也是艺术的基础，但大多数人都认为，二者是河水不犯井水，甚至风马牛不相及。然而，从近年有关人脑的研究，我们知悉了一些令人振奋的成果，它显示出人脑中理性和感性，彼此相互影响着“你中有我，我中有你”。或许，我们能在将来对这方面知道更多，了解更多。所以，数学是艺术也是科学。

柏拉图世界是早已存在还是创造出来的?

让我们尝试从多种方法去说明这两个方面。问题在于，数学家所发现的东西，是存在于现实世界中?还是存在于柏拉图式的理想世界?柏拉图用他构想的概念来理解数学，例如，他认为圆形可以是完美的。但完美的圆，在现实世界中从不存在，所有我们所画的圆形，总会带点棱角。

事实上，完美的圆形只是一种想法。我们现在称柏拉图式的世界，确实是一种想法，一个理想世界。在现实世界中，我们见到的圆形，只是柏拉图理想世界的一种想法、反映和替代。但也有人相信，柏拉图世界确实存在，在那里，所有伟大的数学想法都能完美地、和谐地共存。然而，现实世界里竟存在着杂乱，于是科学家便以某些方法，把现实世界和想像世界两者合并。

接下来，大家也许会问:究竟柏拉图式的世界是否从一开始就存在，只待我们去发现吗?抑或纯粹是人类智慧所创造的?它是一件发明还是一次发现?也就是说，我们发明了柏拉图式的世界，接着，这个理想世界反映了现实世界。

这是一个已存在了上千年的疑问。这正是一条我们可以辩论，却会获得不同答案的问题。一般来说，我们从一些基础层面的例子去探讨这些问题，会比进行抽象层面的哲学讨论，会更加有效。因此，我将透过一些简单的例子，去讨论这个问题:数学是一种发明，或是发现?

在进一步讨论之前，让我指出一点。香港是一个以商业为本的城市。许多人们来到大学念书或教书，都难免考虑到金钱和物质的问题。从这方面来说，发明和发现之间的一个主要区别，就是透过发明可以获得专利权，从中可以赚取金钱，而发现却不是。例如，马克士威引进了电磁学理论，如果他发现的公式可以取得专利，恐怕他已经和微软的盖茨一样富有了。但是，你不能为自己所发现的东西取得专利权。人类基因组是近期另一个例子，并且引起了许多争论，比如说，我们能否为人类基因的发现而取得专利?因为这个题目涉及庞大的利益，所以经常引起广泛的争论。因此，这是一项发明还是发现的问题，不纯然是一个哲学议题，也引起了强烈的商业回响和争论。

现在，让我先以柏拉图和希腊人的数学概念作为我们讨论的一个例子。柏拉图感兴趣的其中一个问题，是著名的“正多面体”，也被称为“柏拉图立体”。“正多面体”有 5 个:

正四面体，由4 个三角形组成;

正六面体，即正立方体;

正八面体，即一个双金字塔;

正十二面体，每一个面皆是正五边形;

正二十面体，每一个面皆是等边三角形。

一个正四面体有4个顶点，6 条边和4个面;

正方体有 8 个顶点，12 条边和 6 个面;

正二十面体，有20 个三角形的表面，12 个顶点，和30条边。同时，它们成双出现，就是面的数目和顶点的数目，可以互相交替，称为对偶。首要的问题是，像正二十面体或其他立体的这些物体，究竟是被发现还是被发明出来?

你可以争论:立方体是一件明显存在于周围中的东西，就像方糖一样;而四面体或许也是这样。但是，于大自然中找到正二十面体却十分困难。我不认为它们以任何形式存在，所以，正二十面体看来更加像是一件人类的发明。虽然它的存在归功于柏拉图，但我发现事实上在公元前2000年，即4000年前的苏格兰，便存在着正二十面体和所有5个正多边形立体。这比柏拉图的年代更早出现，至少比柏拉图早了千年。这些可能是文物的石块，出现于苏格兰还没发展出高度文明的一个时代里，而当时已经有人研究出如何做出全部五个立体。

球体内接多面体的奥秘

起初，我估计它是个某时某地某些天才做出来的个别例子，但似乎还不止如此，因为那里有数以百计这样的石块，遍及整个苏格兰。因为某些未知的原因，当时有人发现这些石块，并对它们爱不释手，然后更受到整个社会的重视。这是一次十分重要的观察，迄今为止，在一个没有已知文字或文明的古代竟然有古人发明这些数学物体，实在令人百思不得其解。当然，我并不知道这是否最远古的例子。或许在4000年前的中国，也有人曾经发现正二十面体，但至少迄今为止，苏格兰仍保持这项记录。

到了今天，我们发现了当中一些奥秘，这些数字之间存在一些简单的关系。这些立体的数学关系是欧拉(Leonhard Euler)发现的，被称为“欧拉公式”。

F+V-E=2:顶点(V)的数目减去边(E)的数目加上面(F)的数目等于2。

从这五个例子，我们很容易便能得出这个简单的关系。但欧拉想得更深，他观察出的规律，不仅能套用到柏拉图立体上，更能套用到所有球体内接的立体上，所有这些立体的数字之间都能符合这种关系。讨论至此，你也许会问，这是一种发现，还是一件发明?我偶能找到更多，但能将这个公式应用得多远?

结果，它成为数学里一个十分重要的公式。数百年来，这公式有不同的演变，但它仍然是数学中的核心部分。事实上，中国数学家陈省身教授的研究工作，都与这公式有密切关系。如果我们能在自然界中发现这些公式，就能看得见这些事物。如果二十面体是你发明的，你就是发明了这条公式。

这就是有关发现还是发明的讨论的第一个例子。

有多少数是上帝的创造?

让我回溯得更远。数学中，最原始的是什么?数学是从哪儿开始?也许你会回答:由数和计算开始，1、2、3、4、5.....一堆整数。著名的德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker)说:“整数是上帝创造的，其余都是由人所凑成”。人类发现了整数，又制造所有其他的东西。

第一个问题是，0又如何呢?0也是一个整数。在1之前，首先是0。0无疑也是一个重要的整数。它是一件发明，还是一种发现?0早就存在，抑或是我们的发明?我真想说0是一个发明，但事实上这是个很难处理的问题。

然后是十进位的标记法。当我们开始写下数，就是在组织数。同时，十进位的标记法是在数学中一个十分重要的部分。它当然不是一早就出现的，罗马人写了一个复杂的数学系统。在我来香港讲学暂住的饭店房间里，书桌上放了一个日历，上面印着小小的中文数，但这些数我看不懂，对我来说，它们就像罗马数一样。但无论如何，十进位的记数法是伟大发展的一步。有时候我会尝试认为它是一个发明，但是你也许会说数早就存在了，上帝所发明的世界早就如此，只是我们后来才发现它罢了。

再进一步讨论下去。数学家对整数又做了些什么?是的，数学家有时会埋首于有趣的事情上，他们并非对所有数都有兴趣，却去深究质数，质数是不能被分解成其他因数的整数。我都知道，6是2乘3的积。但如果将不可分解成因数的数字依次写出来，它们是2、3、5、7、11、13，可以无穷无尽地写下去;只是，数学家很难找到一个规则去描写出它们的全貌。专门研究数论的数学家喜欢质数，因为在分析整数的过程中，你可以将所有整数分解成质数的积。因此，质数可以被当成是整数的构件部分。构件往往具有引人入胜的吸引力，如果想了解某事物的结构，你将要仔细观察它的构件，从构件揭开它的面纱。原子是物质的构件，所以质数是算术的构件。

2的平方根是个什么样的数?

那么，长度又如何?长度是数，例如1、2、3、4、5，都是数。长度由数代表，而数又代表了长度单位?假如你拿一把尺子、一条绳或其他，你可标出它的长度。也就是说，长度是在现实世界中，一样能够量度的重要东西。当希腊人接触长度时，他们发现并非每个长度都能以数呈现出来。举例说，我们以一个单位长度作为一个正方形的边长，这个正方形的对角线的长度应该是一个数，而根据勾股定理，这条对角线的长度又应该是2的平方根。反过来说，这个数的平方，就是1+1。

2 的平方根这个数存在吗?迄今为止，所有的数都是整数或者是分数(例如:)。如果2的平方根这个数不是整数，它会是一个分数吗?很容易就可以证明 2 的平方根又不会是一个分数。

【数学文化】数学是发明还是发现？

我来给大家做一个论证:我们用两个整数p、q来组成一个分数，这两个数可以约分时我们先将它们约分，到最后我们可以假设这两个数不会都是偶数。假设2的平方根=;，将这个算式平方，可得出，从而得知p是偶数。然后将p设为r的2倍，以2r取代p放回算式中，得出，互相再以2相抵，得出q=2r，从这里看，q是个偶数。这跟我们上面的假设又抵触了，所以又不能将2的平方根这个数写成一个分数。

这是数学其中一个最美的逻辑推论，证明出 2的平方根并不是一个有理数。这又会是个什么样的数呢?这个数存在吗?可以书写出来吗?这是个吊诡。2的平方根作为这个长度的数确实存在，但又不能写成那样，于是我们不得不发明一些数来表述这个数，其中一个方法，就是利用十进制，把2的平方根写成 1.4142135623731....。有些非凡的数学家能不假思索，就可以把这个数的 100 个小数位都写出来，我就做不到，只能自叹不如。

实数的发明是一大进步，但这个发明是由量度现实世界的物件而来的，因此我们也得建立一个方法，去处理这问题。

数学家接下来要处理的是负数。数可被称作正数也可以是负数。比如我们在尺子上，从左至右记下数字，这可称为正数。若果从反方向，就可称为负数。好像升降机的上，下，或会计师做的资产负债表一样。这是现实世界中很重要的东西。所以，负数十分重要。再看深入一些，人类是如何处理负数?如果将-1乘以-1，你会得到+1。也就是说，如果你并非向前走，而是反方向前进，然后再一次倒转方向，你将回到原来的位置。你可以说，数的发展是基于经验。有如十进记数法一样，这些都是我们在量度距离的长度当中发明出来的标记方式，去将数书写出来;这些经验和发明，就以某种模式紧扣着。这些都是数学的初阶，且让我们进入更复杂的领域。

虚数是人类的重要发明

虚数的发明让数学进入了新阶段了。按照上文所说的规则，当一个数自乘时，得其平方时，这个数总是个正数。当两个正数相乘可得正数，而负数也会产生正数:所以没有任何一个数的平方是负数。算术的规则不允许这样的数存在，它不具有任何意义。

但是，如果我们非得要把它写下来，这个数被称为虚数。数百年来，数学家不断争论，这诡秘的东西能否被书写呈现，并严谨地加以应用，到最后又能否应用到现实世界，大家对这些问题存疑。数百年来，这概念都不被接纳或被束之高阁。幸而到最后，数学家解决了，并接受了虚数。这是人类的发明，因为它不存在于世间，同时因为人类发现虚数的定律，在数学中很有用处，电子工程师也愿用它，甚至成为量子力学中一个重要的根基。

在某程度上，复数是实数和虚数的结合。所以，-1的平方根虽然没有在现实环境中明显地存在，但它仍很微妙地体现于现实存在的一些东西里，也暗藏于狭义相对论中。我可以大胆地说，-1 的平方根可能是人类最伟大的单项知识发明。

这是个很大胆的声明，有人反对这种说法吗?大家都同意它不存在，然而，我们能在数学和物理学中，能得到惊人而丰硕的成果。这是一种巨大的成就，也肯定是人类超越性的发现。我们不能看见虚数在周遭出现，但我们接触和应用它，从中得到巨大的成就。事实上，数学家花了整整 300 年才做出来，它不是单个数学家的发明，而是群策群力创造出来，是人类集体思想的心血，经历了几百个寒暑，也难怪当时最伟大的数学家，对此也探索良久，甚至穷一生之力，孜孜不倦为此做出贡献而无悔。

我们再看数学中一些扣人心弦的故事。数学中，有一些特定的数或常数，被称为宇宙基本常数，它确实在数学中起了重要的作用。

圆周比率是周期性现象的基本常数

第一个——。所有进过学校的人都会应用过这一个圆形的圆周跟直径比率的数值。如果你想透过一个公式计算它，你首先要画一个圆，并且在圆里面内接一个多边形。你可以增加边的数目，并量度多边形的周界，这个多边形的周界肯定会比圆周小。但是如果我们将多边形的边的数量不断增加，亦即是把这个多边形的边长不断的缩短，所得出这个多边形的边长便会越来越接近圆周。如果我们继续且不断重复上述步骤，我们所得出的这个圆周与直径比率的量度结果将会愈来愈接近。希腊人和阿基米德正是由此方法得到很准确的。所以，是很基本的。当然，你也可以认为，这只是个愚笨的几何学家才会做的事。谁会关心圆周和直径的比率?但是，事实上是最基本的常数;它在数学和物理学中起了一个举足轻重的角色。

道理很清楚，因为与一些周期性的现象有关系，即是任何循环和重复的事情，都派上用场。地球和太阳的运动、钟表上的时间，任何会振动的事物都有周期性的模式，所有那些对周期性现象的描述都会包含基本的常数。会在所有数学和物理学的教科书中的常数出现，它是你能想出的最通用的数。也可以说，它是人类文明其中一块基石。

指数函数e是计算增长数字的基本常数

另一个几乎有同等基础性，但有一点较难理解的是e，指数函数的基数。e约等于2.718，是2和3之间一个实数。这个数的重要性有其基本原因，其一是它跟物种的数目增长有关，包括人、细菌或动物。在任何一代，一个个体被取代成两个，就好像父母二人共有 4 个后代。如此，它的数量就会倍增，到了下一代又再会倍增，这快速的增长称为“指数增长”。如果这情况继续出现，而且没有人死亡，那么没多久地球的食物就会耗尽，炎祸立至。事实上，这真的值得人类警惕，因为上个世纪的全球人口几乎是以指数增长的。所以，我们面对的一大难题，是当人口超越极限后，我们如何维生?世界人口现在已逾60亿，而且预计将会达到 90 亿，有些甚至预计得更多，怎么办?

这是人类人口的问题，但是，我们也可以将之套用于小动物、或传播病害的细菌的问题上，他们可以指数地增长和传播病害。

这个数学概念也可以在金融世界中应用，而复合利率的计算是基于指数函数的计算方式。假设你有一笔银行存款，每年结束时，银行经理给你一个额外的比例，例如x，x可以是5%，或者更慷慨地他给你10%的额外款项。如果他们不是每年给你一次，而是每半年一次，即使是同样一个按年比率，你都会获得更多的款项。因为在前半年你已经得到了()%的额外款项，下半年的这个()%，是基于本金加上半年已取得利息的总和而计算，即是在本金加上半年利息之上得到的利息，这种计算利息的方式稍为复合利率。假如是每季给你计算一次又会是怎样呢?你将会得到更多。假如是每天给你计算一次呢?你将会得到更加多。假如他们每秒，或每毫秒一次呢?你会否得到更多，变得更富有?

答案是:这是有上限的。你最多可以得到的是。假设x是1，就是说，你有一名十分慷慨的银行经理，给你百分之百的利息，你最多可以得到多少?答案是，在一年结束时你将会得到本金的2.718倍。假使你在银行的存款是 100 元，如果银行给你的年利息是1，按年息计算，你得到的利息是100元。不管复式的计算次数有多大，你所获得最大可能的额外利息是 71.8 元。

因此，无论大家对钱、人口还是对病菌的增长感兴趣，都需要知道指数函数。

上文所述的和e是数学上的两个基本常数。

最美丽的公式:

在现实世界同样也有基本常数。当人们(或智灵生物)在行星之间互相通讯，就如美国国家航天局发射火箭到太空，当火箭到达遥远的某处，可能我们会想传输些资讯给其他智慧生物，来证明我们是聪明的。这样，我们会想放些什么在火箭上而令对方可以了解?其中一样可放的是某些数字，因为我们相信，远方的文明也会找到这些常数。所以，我们可以放上e和。但当然我们也可以放物理常数。假如对方是不错的物理学家，他们可能想计算质子质量和电子质量的比率，或许我们也可以把这些比率放在那些资讯中。但是，数学常数还是比较容易理解的。放一个正二十面体可能也是个好提议，来看看外星人是否知道正二十面体。

事实上，有很多好东西是在语言以外的，独立于我们所认识的语言。但在一个适合的模式，他们是会懂得这些数学。如果有人问:在数学中，哪一个公式最美丽?我想所有数学家都会同意，就是以下这一个公式。

什么是?很简单，你可把它代入x+yi，经过运算，答案是-1。这是在数学最奇妙的公式，因为在单一条公式中，包括三个最重要的数字:-1的平方根i、和e。这条令人惊叹的公式，包含了最基础的意义。正因如此，它是如此的美妙。同时，我亦视这公式为数学界里，可与文学界最著名的句子媲美——莎士比亚四大悲剧之一的《哈姆雷特》里“to be,or not to be”。句子简短，但是这十分简单的句子却蕴含一个深厚的意义。所以，数学家其实同样有美的触觉。数学和艺术相同，两者依赖于同样的理念，就是既简单又深刻。

数学对物理学的非凡贡献

接着我们转谈几何学。几何学曾被欧基里德(Euclid)和其他希腊学者浸淫研究，德国哲学家康德对此也反复思量。事实上，几何学就是空间，就算我们的脑袋早就决定了空间是怎样的模样，但是我们还是用发展出来不同的实验去钻研它。

在19世纪时，醉心于欧氏几何学的人，发现了欧氏几何以外的几何学。我们发现有一些空间是不符合欧氏定律的，我们称之为非欧几何学。从波尔约(Janos Bolyai)、罗巴切夫斯基(Nikolai IvanovichLobachevsky)、高斯(C.FGauss)等数学家的研究成果得知，这种几何学在某程度上，类似欧氏几何学，只不过是空间弯曲了。继而有德国数学家閔可夫斯基(Hermann Minkowski)，最后爱因斯坦将之用作时空的曲度，作为对重力场的阐释。这里的万有引力，是建基于于时空弯曲的想法。然而，当中其实有不只一种几何学。

几何学不光牵涉平面，也可有弯曲空间，能够最终引领爱因斯坦的理论。

我爱引用物理学家维格纳(Eugene Wigner)在《数学在自然科学中不合理的有效角色>(TheUnreasonable Effectiveness of Mathematics in NaturalSciences)一文中一句话。他指出:在所有不同的方法中，数学对物理学有着非凡的贡献。也许你会奇怪，为何这些比较愚蠢的数学家做出来的数学，会由才智之士的物理学家所应用，但事实正是如此。那么，我们可能同时会问一个相关的问题:数学是一个发明或者发现吗?

如果数学是被发现出来的，它显然是源于自然世界;如果是人类脑筋所发明的，为什么它运作得如此美好?甚至运行得几乎完美无瑕?如果你相信神是宇宙的创造者，那就是神造人，他创造宇宙，并且由他建立数学的原理。当人们开始探索世界时，发现自己能以数学来解释物理学，洞察世界，揭开世界的面纱。

如果你是柏拉图派，相信柏拉图，你会认为在物理世界以外还有柏拉图式概念的世界，而我就是用它来构建物理世界。你也可以是达尔文派，并且说人类头脑的演变是进化的结果。在现实世界为了生存，人类的头脑不能不驾驭外间的物理定律。否则:我们就不会被大自然选中，甚至在物竞天择中难逃被淘汰的厄运。这样，物竞天择就选了符合物理定律的思维。

然而，这种辩解并不能令人信服，但可算是个好的讨论起点。近年来令人惊奇的一件事情，是不懂数学在物理学中显得非常有效，很多从物理学而来的成果，在数学中也显得非常有效。甚至当数学家和物理学的工作是风马牛不相及时也是如此，彼此竟可互相启发、互相增益。从今天的物理理论中，我们可找到十分值得注意的数学发现。这个关系是双向的，也令人更难以理解。现代物理学超越了爱因斯坦的四维时空，已走向高维时空。

人类认知以外的高维度

如今我们有更高维的几何学。在一维空间中，我们有一条直线或者一条曲线，有一个参数。在二维空间中，我们有平面或者膜。在三维空间中，我们有空间，很有可能是弯曲了的空间。而在四维空间中，我们有爱因斯坦常用的空间和时间。其他更高的维度呢?5，6，7，8，9，10，11 维又如何?在数学中，数学家可以想出任何他们喜欢的东西。因此，为何不能有五维空间?在三维空间的一个点被指为坐标，在五维空间就可以有，毫无难度，只要将它们放在一起便可。如果你是物理学家，你能将之想像为自由度，即是有多少个运动的方法。1个粒子有3个运动的方法，但当2个粒子独立地运动，它们共有6个自由度。如果你想要描述2 个粒子的一个容器的状态，你将要用 6 维空间。所以高维度也占了一席位了。在 19 世纪，数学家开始研究它们，但像之前的虚数一样，高维度是深奥的，并不那么容易为人接受。当时英国的数学家西尔维斯特(Sylvester)，为高维度撰了个新词“超乎构想”(inconceivable)。因为他认为，高维超出了人类脑袋所能构想的。

但西尔维斯特也觉得这不是一个问题，因为他相信任何虚构事物，他相信i，认为虚数有超乎构想的维度。遗憾地，这词没有流行过，这确实是一个好的词，但是事情发展得太快了，现在物理学家在接受高维度空间的存在时，我们没有一个词能够表明，它是超出想像的。在现代物理学里，高能物理学中的弦论，提出了我们其实处于高于4 维的空间。这 4维的空间就是时空，但是，这里也同时有其他的维度，这共有10或11维度，即是有原来 4 维空间，和额外的 6 维度。

这些额外的维数在某程度上，可算是细小并且紧紧地弯曲的。除非我们有一个十分强大的放大镜，否则我们根本就看不见。它就像一条电线一样，却有一个额外的尺寸、厚度。除非我们在显微镜中细心观察它，否则只能看见它像一条直的线。想像今天的物理学。我们需要的放大镜是一台高能加速器。在研究细小的空间时，我们需要有高的能量。这就是现代的物理学的一个画面，它有更高的维度。高维度是你不能以平常方式去看，但可在高能量时研究它们。

由于巴布森(Babson)，现在我们有间接的证据去证明这些理论模型，跟实验结果是一致的。虽然我们不能直接看见较高的维度，但是我们能间接地探索它们，侦测到它们的影响。我们可以往后推论这些维度是真实的存在，因为这跟实验所得的是一致的。但问题始终是:它们是已存在的，抑或是人类脑袋创造出来，借此让我们去了解大自然?我们始终要下一个定论，假如它是用来了解大自然，那么，这是数学上正确的事。但无论大自然是否真的如此，或是装成如此，甚至是我们把它看成如此，统统都不重要，而且这是不能去验证的想法。也就是说，在实验室观察到的，能否奠下一个关于高维的更精细的图像，这是我们所不知道的。

现在这个问题愈来愈无法回避。今日世界的物理变得更加复杂，而这类高维的、弦论的模型，在近年变得愈来愈精密，所以它影响的数学也愈来愈广。然而问题是:这世界果真是如此复杂，抑或只是我们从自己的观点，把它看得如此复杂?例如，我们将要到另一行星，远方的智灵生物构想的东西，跟我们构想的是否相同?他们会否构想额外的维，又会如何去想像它?所以，这是很难去了解我们所建立的数学模型，会否有真实物理的意义。我在上文简略地讨论过达尔文的推化论及其对人类智慧的构成，我想回到这个问题的讨论，因为人类的脑袋，就是进行数学探讨的地方，当我们讨论柏拉图的理想空间时，哪里才是理想空间?这其实是在人类的集体智慧之内。这是概念的住处，除此以外，我们再找不到任何地方了。假如你将概念放在纸上，纸上所示的不是概念，只是个图片，事实上，概念是收在人类的思想中或者更深处。

抽象概念是数学的灵魂

物理学使用数学模型，而数学则建立于人类脑子中。人类的大脑很可能是进化出来的。同时，进化是由物竞天择，当中基于物理学和生物化学而来。所以某程度上，我们会见到一个循环。因为有这些物理定律，人类的大脑成了这个模样;但人类的大脑利用数学得出物理定律，这俩不断循环。我们可以提出一问题:我们对大脑的结构有多少认识?这将会是下一世纪的大问题。

运用先进的扫描技术，神经生理学家已经发现了很多和大脑有关的知识。我们发现，大脑里面有化学反应和电路，也掌握了扫描的各个步骤。我们开始对大脑的运作有了个初步的认识，虽然所知不多，但开始知道多一些，当中包括大脑很可能涉及抽象的运算。你可能会认为，大脑处理视觉等具体的资料时，它们组织起来的方法会涉及抽象的讯号，变得有如密码一样。但是，这些讯号并非直接反映了某件实体，而是被编成为一些抽象的密码。事实上，数学也是建基于抽象概念。究竟人类如何获得这种抽象概念的能力?

数学收集了大量的事物。当发现有一些事物是共有的，就追溯并整理出来，建立出想法和概念，进而加以细心分析。抽象概念就是数学的灵魂。单一个数学概念之所以能应用到现实世界的不同地方，就是因为我们在不同层面对它可以有不同的演绎。与此同时，抽象概念看来在某形态上可以反映大脑的操作，大脑内的回路某程度上有着数学的结构。今天，神经生理学家开始以科学的角度去解答哲学家过往提出的老问题，还有关意念和决策的问题。以往哲学家讨论的问题都是循环不息的，没有确切答案，但现时我们有了个切入点，去了解这些问题。当然，我们得到的也许不是答案，而是产生更多的疑问。

讨论到这里，让我作一个扼要总结。传统上，意念跟物质是分开处理的。意念，是属于人内在的;物体，是属于外在的。我们的问题是，这双方有什么关联?物质果真存在吗?抑或只是一种想像?意念将物体实现出来，抑或体现了其他?这是属于哲学家的问题。但有一点是很清楚的，数学建基在意念之上，而物理学是研究物体。数学和物理之间的问题，是意念和物体之间的问题的缩小版。然而，数学和物理学的先后关系是怎样?

可以说，脑子是意念的实体基础。意念就是从脑子内部结构中，透过未知的方法浮现出来，这使我们的问题变得不扎实。脑子当然由物质组成，它有实际的成分，脑子是数学和物理学被阐明的地方。当我们有数学的理论，或有关于几何学的概念，它可能以某种形式记在脑内;而脑子是现实世界的一部分，也是其中最重要的核心。哲学家必须把脑子是否由物质所组合，并以某种方式进行思考纳入讨论，否则他们便无法谈论实在细节，也无法确定实在的问题。也许这就是困扰人类几千年的真正问题所在。

随着科学和研究的精进，我们未来将会知道更多关于大脑的运作，及它和意念的关系。在某程度上神经生理学的进步，可以令有关数学、物理学和科学的疑问都会变得更加清晰。

都是以“美”作为选择的准则

在总结时，让我用另一个方法，去回答有关发现还是发明的疑问。无论是在现实世界或是在理想世界，不论是由意念组成还是由原子组成，都有千千万万个可能出现的情况。如果我可用符号的话，我有千千万万个不同组合的方法。如果是物质，我可随意造出不同分量的物质。如果是数学符号，我可以写出很多方程式，有些方程或许是正确的，有些是错的。当我们写下一条理论，或当数学家建立一条理论时，他会从一大堆正确的方程式中提炼出一些方程式。他会选取其中一项去做研究，或者选一项他感兴趣的问题去攻关。他的选择方式和艺术家或作家选字摘句其实没有两样。

假如将猴子放在打字机前，提供足够的时间，它可以写下整套莎士比亚的著作。这当然是可能的，但这随机过程需时很漫长;莎士比亚则是抄了猴子的捷径，他去“拣选”字词，从一切自己所知道的文字中，根据一些准则选出美妙的字词;而数学家也从应该正确的方程中，根据一些准则去选择方程式。物理学家也用相同的方法做事。他们做出了一切可行的事，然后选择如何去落实。我们现在使用的那些准则，当然是决定结果的基础。

在某程度上我想说，数学家和作家的准则就是美。

请注意:当莎士比亚写作时，他挑选美丽的字词去撰写。所谓美的文字，“美”涵盖了意义、声音、雅致:包括美的各个方面。数学家选择研究方程式:也因为它是美的。为什么它们是美?因为有下列这些因素:雅致、简单、深刻、普遍性。这样许多事情都与美连上关系，而正是美这个标准，使数学家从众多方程中作出选择。同时，美也令数学家做出正确的选择。人类这种投入和参与，就如发明的过程一样。发明就是从一切的可能性中选择你想研究的，一切的可能性就放在眼前。这就是你的发明。

发明就是从零去开始一件新事物。不论在现实世界或理想世界，我们都是从一切可能性中，去找某样具潜质发展的事物。这就是人类的活动。我们可以从观念中强调数学、艺术和科学都是人类活动;而人类扮演的角色，是根据我们决定的准则作出选择。而这美的标准包括，简单、雅致、意义.....一切一切。科学就是这么一个过程，并成为整个人类知识架构的一部分。我们就是试图理解外部世界、理解大自然的科学家。

然而，“理解”也是一个深奥的概念。理解是什么意思?如果你细心思考，你将发现你不知道答案。所谓理解，是脑子得到资料后，对资料着手处理，令它可被理解、有条理等等，这一切全都依赖脑子如何运作。脑子如何理解秩序和结构?它实际情况如何?我们不知道。作为数学家，我想希望用自己的脑子解决问题。物理学家使用他们的脑子解决实体世界的事情。但是在这之前，必须要有某些东西在他们的脑袋里先行运作，因此重要的是，要认识到数学和所有事情都是人类活动，都是一种自发自动的过程。有人说:如果你有电脑，你就不再需要数学家。因为它能处理资料和为你做妥一切事情。但是，所有机器都要处理成千上万的定理，选择哪一个?最终还是需要人类去选择材料、组织，以取得进一步的发展。科学也是一样。

以上就是本篇文章【【数学文化】数学是发明还是发现？】的全部内容了，欢迎阅览！文章地址：http://oml01z.riyuangf.com/news/1102.html
资讯企业新闻行情企业黄页同类资讯首页网站地图返回首页迅易网资讯移动站 http://3jjewl.riyuangf.com/ , 查看更多